Teorema di Carnot: cos'è, dimostrazione e rendimento massimo
- 10 ott 2021
- Tempo di lettura: 3 min
Aggiornamento: 15 mar
Cos'è il teorema di Carnot?
Il teorema di Carnot è uno dei risultati più importanti della termodinamica classica e risponde a una domanda fondamentale: esiste un limite massimo al rendimento di una macchina termica? La risposta è sì, e questo limite è fissato proprio dal teorema di Carnot.
Il secondo principio della termodinamica era stato enunciato sulla base di due impossibilità — l'enunciato di Kelvin-Planck e quello di Clausius — senza però fornire una formula matematica esplicita, come era invece avvenuto per il primo principio. Il teorema di Carnot colma questa lacuna, stabilendo in modo preciso e quantitativo qual è il rendimento massimo che qualsiasi macchina termica può raggiungere lavorando tra due sorgenti di calore.
Il risultato è sorprendente: non dipende dal tipo di macchina, dal fluido utilizzato o dal ciclo termodinamico scelto, ma solo dalle temperature delle due sorgenti. Questo lo rende uno dei teoremi più profondi e universali di tutta la fisica.
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Se invece ti trovi meglio a leggere ecco tutto ciò che devi sapere sul Teorema di Carnot.
Enunciato del teorema di Carnot
Il teorema di Carnot afferma tre cose fondamentali: tutte le macchine reversibili che lavorano tra le stesse sorgenti alle temperature T1 e T2 hanno lo stesso rendimento; qualsiasi altra macchina che lavori tra le stesse sorgenti non può avere rendimento maggiore; il risultato è indipendente dal particolare sistema che compie il ciclo.
Dimostrazione del teorema di Carnot
Consideriamo due macchine che lavorano utilizzando le stesse sorgenti di calore alle temperature T1 e T2, con T2 > T1, dimensionate in modo tale da produrre lo stesso lavoro W. Indichiamo le due macchine con i simboli X e R: per la prima non facciamo alcuna ipotesi di reversibilità o irreversibilità, mentre assumiamo che la seconda sia reversibile.
I rendimenti delle due macchine sono:
Dal primo principio abbiamo inoltre:
Supponiamo che sia ηX > ηR e costruiamo una macchina composta da X e R, in cui R viene fatta funzionare come macchina frigorifera, assorbendo il lavoro -W e il calore -Q'1 e cedendo il calore Q'2. Dall'ipotesi ηX > ηR segue:
E quindi:
L'unico risultato alla fine di un ciclo sarebbe il passaggio di calore dalla sorgente fredda alla sorgente calda, in contrasto con l'enunciato di Clausius. Quindi l'ipotesi di partenza è sbagliata e deve essere:
Se anche la macchina X fosse reversibile, applicando lo stesso ragionamento al contrario si ottiene ηX ≥ ηR, e quindi le due disuguaglianze sono compatibili solo se:
Il rendimento massimo di Carnot
Abbiamo già studiato il ciclo di Carnot a gas ideale, il cui rendimento è:
Grazie al teorema di Carnot, questo risultato rappresenta il rendimento di tutte le macchine reversibili che lavorano con due sole sorgenti alle temperature T1 e T2. Fissate le temperature delle sorgenti, con T2 > T1, il rendimento massimo possibile è quindi:
Ricordiamo che T è la temperatura misurata col termometro a gas ideale (temperatura assoluta in Kelvin).
Relazione tra calori scambiati e temperature
Per qualsiasi macchina reversibile, confrontando le formule del rendimento, la relazione tra i calori scambiati e le temperature a cui avviene lo scambio è:
Lavoro massimo e calore minimo
La macchina reversibile è quella che sfrutta meglio l'energia fornita sotto forma di calore. A parità di calore assorbito QA, la macchina reversibile fornisce il lavoro massimo:
A parità di lavoro fornito, la macchina reversibile è invece quella che assorbe il minore calore:
Esempio numerico
Applichiamo il teorema di Carnot con un esempio concreto. Consideriamo una macchina termica che lavora tra una sorgente calda a temperatura T2 = 600 K e una sorgente fredda a temperatura T1 = 300 K. Qual è il rendimento massimo che questa macchina può raggiungere?
Applicando la formula del rendimento massimo di Carnot:
Il rendimento massimo è quindi del 50%. Questo significa che anche la migliore macchina termica reversibile possibile che lavora tra queste due temperature non può convertire in lavoro più della metà del calore assorbito dalla sorgente calda. Qualsiasi macchina reale irreversibile avrà un rendimento strettamente inferiore al 50%.
Supponiamo ora che questa macchina assorba un calore QA = 1000 J dalla sorgente calda. Il lavoro massimo che può fornire è:
I restanti 500 J vengono ceduti obbligatoriamente alla sorgente fredda. Questo è il limite fisico imposto dal teorema di Carnot: non è possibile convertire tutto il calore in lavoro.
Conclusione
Il teorema di Carnot risulta valido anche per macchine che lavorano con più sorgenti: la macchina che funziona in modo reversibile è sempre quella il cui rendimento è il limite superiore dei rendimenti possibili. Non esiste però una formula generale come η = 1 - T1/T2 per il caso con più di due sorgenti. Il teorema di Carnot rappresenta quindi il limite fisico fondamentale oltre il quale nessuna macchina termica reale può spingersi.
Buono studio!
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