MOTO DI CADUTA LIBERA
- 9 ott 2021
- Tempo di lettura: 7 min
Aggiornamento: 22 feb
Cos'è il moto di caduta libera e come si calcola?
Il moto di caduta libera è uno dei fenomeni più studiati della fisica classica e uno degli argomenti fondamentali nei corsi di fisica delle scuole superiori e dell'università. In questa guida completa troverai tutto ciò che devi sapere: la definizione, le formule principali con le relative dimostrazioni, e cosa che raramente si trova online in modo organizzato tutte le formule inverse, ovvero come ricavare ogni grandezza in funzione delle altre.
Che tu stia cercando la formula del tempo di caduta, la velocità al suolo, o come comportarsi quando il corpo ha una velocità iniziale, qui trovi la risposta completa e dimostrata passo per passo.
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Se invece ti trovi meglio a leggere ecco tutto ciò che devi sapere sul Moto di Caduta Libera.
Il sistema di riferimento e l'accelerazione di gravità
Il moto di caduta libera è un moto di un corpo che partendo inizialmente fermo cade sotto l’azione
dell’accelerazione di gravità pari a 9.81 m/s².
Preso un sistema di riferimento con l'asse x orientato verso l'alto, l'accelerazione vale: a = -g
l'accelerazione vale: a = -g
La legge oraria del moto di caduta libera
Legge oraria è: x(t) = x0 + v0 · (t - t0) + (1/2) · g · (t - t0)²
L'equazione delle velocità
Equazione delle velocità: v(t)= -g ∙ (t-t0) + v0 con v0 = 0 ==> v(t) = -g ∙ (t - t0) con t0=0 ==> v(t) = -g ∙ t
Sostituendo nella legge oraria x0=h, v0=0 e t0=0 legge oraria ==> x(t)= h - 1/2 ∙ g ∙ t²
Il tempo di caduta al suolo
Il corpo impiega del tempo a scendere è tempo di caduta al suolo:
imponendo x(t) = 0 si ottiene h - (1/2) · g · t² = 0, da cui t² = 2h/g e quindi t = √(2h/g)
La velocità al suolo
Come calcolare la velocità al suolo nella caduta libera? Partendo dall'equazione delle velocità v(t) = -g · t e prendendo il valore assoluto, la velocità al suolo vale: v = g · √(2h/g) = √(2gh). Questo risultato mostra che la velocità finale dipende solo dall'altezza di caduta h e dall'accelerazione di gravità g.
Caduta libera con velocità iniziale v1
Cosa succede se il corpo non parte da fermo ma ha già una velocità iniziale v1 diretta verso il basso?
Legge oraria con velocità iniziale
In questo caso v1 è negativa perché ha direzione opposta rispetto al sistema di riferimento scelto (asse x verso l'alto). Sostituendo nella legge oraria x0 = h e v0 = -v1 con t0 = 0, la legge oraria della caduta libera con velocità iniziale diventa: x(t) = h - v1 · t - (1/2) · g · t²
Equazione delle velocità con velocità iniziale
L'equazione delle velocità nel caso con velocità iniziale v1 si ricava sostituendo v0 = -v1 e t0 = 0 nell'equazione generale, ottenendo: v(t) = -v1 - g · t. Il segno negativo indica che sia la velocità iniziale che l'accelerazione di gravità contribuiscono ad aumentare la velocità verso il basso.
Tempo di caduta al suolo con velocità iniziale
Come calcolare il tempo di caduta al suolo di un corpo lanciato verso il basso con velocità iniziale v1? Si impone x(t) = 0 nella legge oraria e si risolve l'equazione di secondo grado che ne risulta. Prendendo solo la soluzione positiva (il tempo non può essere negativo), il tempo di caduta al suolo è: t = (-v1 + √(v1² + 2gh)) / g
Dimostrazione:
Velocità al suolo con velocità iniziale
Come calcolare la velocità al suolo di un corpo lanciato verso il basso con velocità iniziale v1? Si sostituisce la formula del tempo di caduta al suolo t = (-v1 + √(v1² + 2gh)) / g nell'equazione delle velocità v(t) = -v1 - g · t. Dopo aver semplificato tramite il minimo comune denominatore e ridotto i termini, la velocità al suolo (in valore assoluto) risulta: v = √(v1² + 2gh).
Notiamo che questa formula è la generalizzazione del caso senza velocità iniziale: se infatti poniamo v1 = 0 ritroviamo esattamente la formula v = √(2gh) ricavata in precedenza. I due casi sono quindi casi particolari della stessa formula generale.
Dimostrazione:
Le formule inverse della caduta libera
Fino ad ora abbiamo visto come calcolare il tempo di caduta e la velocità al suolo partendo dall'altezza h. Ma nella pratica può succedere di conoscere grandezze diverse e voler ricavare quelle incognite. Ad esempio: conosco la velocità al suolo e voglio sapere da che altezza è caduto il corpo, oppure conosco il tempo di caduta e voglio ricavare la velocità iniziale.
In questa sezione ricaviamo sistematicamente tutte le formule inverse della caduta libera, ovvero esprimiamo ogni grandezza in funzione delle altre. Si tratta di un contenuto che raramente si trova in modo completo e organizzato, ma che è estremamente utile sia per la risoluzione di esercizi di fisica che per una comprensione profonda del fenomeno.
Le formule inverse che ricaveremo riguardano le seguenti grandezze: altezza di caduta h, tempo di caduta t, velocità iniziale v1 e velocità al suolo v. In particolare le ricaviamo a partire da: l'equazione delle velocità v(t) = -g·t, la legge oraria x(t) = h - (1/2)·g·t², la formula del tempo di caduta t = √(2h/g), la formula della velocità al suolo v = √(2gh), e le rispettive versioni con velocità iniziale v1 non nulla.
Le formule inverse della legge oraria della caduta libera: x(t) = x0 + v0 · (t - t0) + (1/2) · g · (t - t0)² sono identiche a quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato, già ricavate in precedenza.
Formule inverse dell'equazione delle velocità
Dalla equazione delle velocità v(t) = -g · (t - t0) + v0, isolando v0 si ottiene: v0 = v(t) + g · (t - t0)
Dimostrazione:
Dalla equazione delle velocità v(t) = -g · (t - t0) + v0, isolando t si ottiene: t - t0 = v0/g, ovvero il tempo trascorso è pari alla velocità iniziale divisa per g. Nel caso con v0 = 0 si ricava t dalla formula v(t) = -g · (t - t0).
Dimostrazione:
Nel caso particolare in cui la velocità iniziale è zero (v0 = 0), l'equazione delle velocità diventa v(t) = -g · (t - t0). Isolando t si ottiene: t = v(t) / (-g), ovvero il tempo di caduta è pari alla velocità al suolo divisa per g.
Dimostrazione:
Dalla legge oraria della caduta libera x(t) = h - (1/2) · g · t², isolando h si ottiene: h = (1/2) · g · t² + x(t). Questa formula permette di calcolare l'altezza di caduta conoscendo la posizione del corpo in un dato istante t.
Formule inverse della legge oraria
Dalla legge oraria della caduta libera x(t) = h - (1/2) · g · t², isolando t si moltiplica per 2 entrambi i membri, si divide per -g e si estrae la radice quadrata, ottenendo: t = √((2x - 2h) / (-g)). Questa formula permette di calcolare il tempo trascorso conoscendo la posizione x(t) del corpo e l'altezza iniziale h.
Dimostrazione h e t:
Formule inverse del tempo di caduta t = √(2h/g)
Dalla formula del tempo di caduta t = √(2h/g), come ricavare l'altezza h? Si eleva al quadrato entrambi i membri, si moltiplica per g e si divide per 2, ottenendo: h = (g · t²) / 2. Questa formula è molto utile in pratica: misurando il tempo impiegato da un corpo a cadere al suolo si può risalire all'altezza da cui è caduto.
Dimostrazione:
Formule inverse della velocità al suolo v = √(2gh)
Dalla formula della velocità al suolo v = √(2gh), come ricavare l'altezza h? Si eleva al quadrato entrambi i membri ottenendo v² = 2gh, poi si divide per 2g, ottenendo: h = v² / (2g). Questa formula è particolarmente utile quando si conosce la velocità con cui un corpo impatta il suolo e si vuole risalire all'altezza da cui è caduto.
Dimostrazione:
Formule inverse con velocità iniziale v1
Dall'equazione delle velocità v(t) = -v1 - g · t, isolando v1 si sposta v(t) a destra e -v1 a sinistra, ottenendo: v1 = -g · t - v(t). Questa formula permette di calcolare la velocità iniziale del corpo conoscendo la velocità in un dato istante t.
Dalla stessa equazione v(t) = -v1 - g · t, isolando t si sposta v1 a destra e si divide per -g entrambi i membri, ottenendo: t = (v(t) + v1) / (-g). Questa formula permette di calcolare l'istante di tempo in cui il corpo raggiunge una determinata velocità v(t), conoscendo la velocità iniziale v1.
Dimostrazione v1 e t:
Dalla formula del tempo di caduta al suolo t = (-v1 + √(v1² + 2gh)) / g, isolando h si eleva al quadrato, si sviluppa il quadrato di binomio, si moltiplica per g² e si semplifica, ottenendo: h = t(g · t + 2v1) / 2. Questa formula permette di calcolare l'altezza di caduta conoscendo il tempo di caduta t e la velocità iniziale v1 del corpo.
Dimostrazione:
Dalla formula del tempo di caduta al suolo t = -v1/g + √(v1² + 2gh) / g,
isolando v1 si moltiplica per g², si raccoglie e si semplifica, ottenendo: v1 = (g·t² - 2h) / (2t).
Questa formula permette di calcolare la velocità iniziale del corpo conoscendo il tempo di caduta t e l'altezza h.
Dimostrazione:
Dalla formula della velocità al suolo v = -√(v1² + 2gh), elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene v² = v1² + 2gh. Isolando h si ricava: h = (v² - v1²) / (2g). Questa formula permette di calcolare l'altezza di caduta conoscendo la velocità al suolo v e la velocità iniziale v1.
Dalla stessa formula v² = v1² + 2gh, isolando v1 si ottiene v1² = v² - 2gh e quindi: v1 = ±√(v² - 2gh). Il segno dipende dalla direzione della velocità iniziale rispetto al sistema di riferimento scelto.
Dimostrazione h e v1:
Riepilogo delle formule principali del moto di caduta libera
In questa guida abbiamo ricavato e dimostrato tutte le formule del moto di caduta libera, partendo dal caso base con corpo inizialmente fermo fino al caso più generale con velocità iniziale v1. Abbiamo inoltre ricavato sistematicamente tutte le formule inverse, permettendoti di calcolare qualsiasi grandezza a partire dalle altre.
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