Teoria Cinetica dei Gas: ipotesi, pressione ed energia cinetica molecolare
- 10 ott 2021
- Tempo di lettura: 4 min
Aggiornamento: 7 mag
La teoria cinetica dei gas studia il comportamento dei gas a livello molecolare, mettendo in relazione le grandezze macroscopiche come pressione e temperatura con il moto delle singole molecole. In questo articolo trovi le 4 ipotesi fondamentali, la derivazione della pressione e il legame tra energia cinetica molecolare e temperatura.
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Cos'è la teoria cinetica dei gas?
Nella seconda metà dell'Ottocento venne sviluppata la teoria cinetica dei gas, un modello fisico che permette di studiare il comportamento dei gas partendo dal moto delle molecole che li compongono. Grazie a questa teoria è possibile ricavare le leggi dei gas perfetti a partire da principi meccanici elementari, stabilendo un ponte fondamentale tra la fisica microscopica e quella macroscopica.
La teoria si basa su quattro ipotesi fondamentali che definiscono il modello del gas ideale.
Le quattro ipotesi della teoria cinetica
1. Molecole uguali in moto continuo e disordinato
All'interno di un gas le molecole sono tutte uguali tra loro e il loro moto è continuo e disordinato: non esiste una direzione privilegiata. Il numero di molecole per unità di volume è lo stesso in ogni parte del recipiente, quindi la densità è costante e uniforme.
2. Urti elastici
Gli urti tra molecole e molecole, e tra molecole e pareti del contenitore, sono elastici. Negli urti tra molecole si conservano sia la quantità di moto che l'energia cinetica. Negli urti tra molecole e pareti, a causa delle forze esterne impulsive, si conserva solo l'energia cinetica.
3. Solo forze d'urto
Le uniche forze considerate sono quelle generate dagli urti. Le forze attrattive tra le molecole vengono trascurate, così come le forze peso esercitate su ogni singola molecola. Di conseguenza l'energia potenziale interna è nulla e in gioco c'è solo l'energia cinetica.
4. Dimensioni trascurabili
Le dimensioni delle molecole sono piccole rispetto alle distanze che le separano e vengono quindi considerate trascurabili. Ogni molecola si comporta come un punto materiale.
La pressione di un gas — derivazione dalla teoria cinetica
Consideriamo un contenitore cubico di lato l, con volume V = l³, al cui interno è presente un gas che segue le quattro ipotesi. La velocità di una singola molecola si scompone nelle sue tre componenti lungo gli assi cartesiani:
dove û è il versore presente in ciascuna componente e indica la direzione e il verso del vettore. La massa è uguale per ogni molecola per la prima ipotesi. La componente vx·ûx è perpendicolare alla parete yz, vy·ûy è perpendicolare alla parete xz e vz·ûz è perpendicolare alla parete xy.
L'urto sulla parete
Consideriamo un urto sulla parete xy. La molecola colpisce la parete e per la seconda ipotesi l'urto è elastico: a variare è solo la direzione della componente vx, che diventa negativa perché opposta al verso dell'asse x. La parete trasmette alla molecola un impulso pari alla variazione della quantità di moto:
La molecola avrà un successivo urto sulla parete opposta dopo un tempo pari a:
Il numero di urti al secondo sulla parete vale quindi:
La forza esercitata da una singola molecola sulla parete, in modulo, è pari all'impulso per il numero di urti al secondo:
La risultante di tutte le N molecole, usando la sommatoria, è:
La pressione sulla parete di area A = l² vale quindi:
L'equazione di Joule-Clausius-Kronig
Poiché il moto è disordinato per la prima ipotesi, non esiste una direzione privilegiata e le tre componenti della velocità media quadratica sono uguali tra loro:
Sostituendo nella formula della pressione si ottiene la pressione in funzione della velocità media quadratica:
Moltiplicando entrambi i membri per il volume V si ottiene la celebre equazione di Joule-Clausius-Kronig:
Energia cinetica media e temperatura
Definiamo l'energia cinetica media di una molecola come:
L'equazione di Joule-Clausius-Kronig si riscrive allora come:
dove N·Ēcin rappresenta l'energia cinetica totale del gas. Utilizzando ora l'equazione di stato del gas ideale p·V = nRT e uguagliandola all'espressione appena trovata:
In condizioni in cui n = N/Nav (dove Nav è il numero di Avogadro), si ha n·Nav = N e quindi:
Il rapporto R/Nav è la costante di Boltzmann kb = 1,38·10⁻²³ J/K. Il risultato finale è:
Questo è uno dei risultati più profondi della fisica: l'energia cinetica media di una molecola è direttamente proporzionale alla temperatura assoluta T. Questo significa che la temperatura non è altro che una misura dell'energia cinetica media delle molecole del gas.
Esempio numerico
Calcoliamo l'energia cinetica media delle molecole di un gas a temperatura ambiente T = 300 K:
Questo valore, pur essendo piccolissimo per la singola molecola, moltiplato per il numero enorme di molecole presenti in un gas (dell'ordine di 10²³) dà luogo alle grandezze macroscopiche che osserviamo ogni giorno.
Conclusione
La teoria cinetica dei gas è uno dei grandi successi della fisica classica: partendo da quattro semplici ipotesi sul comportamento microscopico delle molecole, si riesce a ricavare l'equazione di stato dei gas ideali e a dare un significato fisico preciso alla temperatura. Il risultato Ēcin = (3/2)·kb·T dimostra che temperatura e moto molecolare non sono due concetti separati, ma due facce della stessa medaglia.
Buono studio!
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