OSCILLATORE ARMONICO ED ENERGIA
- 10 ott 2021
- Tempo di lettura: 3 min
L'oscillatore armonico è uno dei sistemi fisici più studiati e importanti della meccanica classica. In questo articolo trovi la ripresa dell'equazione differenziale del moto, la legge oraria, il periodo, e la trattazione completa dell'energia potenziale, cinetica e meccanica del sistema molla-massa.
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Se invece ti trovi meglio a leggere ecco tutto ciò che devi sapere sull'oscillatore armonico ed energia.
Richiami sull'oscillatore armonico
Prima di affrontare l'energia dell'oscillatore armonico, richiamiamo brevemente i risultati fondamentali già noti. Il sistema di riferimento è una massa m collegata a una molla di costante elastica K. La forza elastica che agisce sulla massa è F = -Kx, con il segno negativo che indica che la forza è sempre diretta verso la posizione di equilibrio (x = 0).
L'equazione differenziale del moto si ottiene applicando la seconda legge di Newton:
Ponendo ω² = K/m, l'equazione si riscrive nella forma canonica:
La soluzione di questa equazione differenziale è la legge oraria del moto:
dove A è l'ampiezza dell'oscillazione e φ è la fase iniziale. Sostituendo la definizione di ω si ottiene la forma esplicita:
Il periodo dell'oscillazione, ovvero il tempo necessario per compiere un'oscillazione completa, è:
La velocità dell'oscillatore armonico
Per calcolare l'energia cinetica del sistema abbiamo bisogno della velocità v(t), che si ottiene derivando la legge oraria rispetto al tempo:
Energia dell'oscillatore armonico
L'oscillatore armonico è un sistema conservativo: in assenza di attrito l'energia meccanica totale si conserva ed è pari alla somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica. Analizziamo ciascuna delle due componenti.
Energia potenziale elastica
L'energia potenziale associata alla forza elastica è:
Sostituendo la legge oraria x(t) = A cos(ωt + φ) nella formula dell'energia potenziale si ottiene l'andamento temporale:
L'energia potenziale è sempre positiva o nulla. È massima nei punti di allungamento o compressione massima della molla (dove x = ±A), ed è nulla nella posizione di equilibrio (x = 0).
Energia cinetica
L'energia cinetica della massa m in moto è:
Sostituendo la velocità v(t) = -Aω sin(ωt + φ) si ottiene l'andamento temporale dell'energia cinetica:
Anche l'energia cinetica è sempre positiva o nulla. È massima quando la molla è in posizione di riposo (x = 0), ed è nulla nei punti di ampiezza massima (x = ±A) dove la velocità si annulla.
Conservazione dell'energia meccanica
In assenza di attrito l'energia meccanica totale del sistema si conserva ed è la somma delle due contribuzioni:
Poiché ω² = K/m si ha mω² = K, quindi si può raccogliere il fattore (1/2)KA²:
Per la nota identità trigonometrica cos²α + sin²α = 1, l'espressione si semplifica completamente:
Questo è un risultato fondamentale: l'energia meccanica dell'oscillatore armonico è costante nel tempo e dipende solo dall'ampiezza A e dalla costante elastica K. Più grande è l'ampiezza dell'oscillazione, più grande è l'energia del sistema.
Il grafico dell'energia nel tempo
Il grafico dell'energia in funzione del tempo mostra chiaramente il continuo scambio tra energia potenziale ed energia cinetica.
L'energia potenziale (in rosso) è proporzionale a cos²(ωt + φ): ha massimi quando la molla è al massimo allungamento e si annulla al passaggio per l'equilibrio. L'energia cinetica (in blu) è proporzionale a sin²(ωt + φ): ha il comportamento opposto, con massimi in corrispondenza della posizione di equilibrio. La loro somma — l'energia meccanica totale (in verde) — rimane costante per tutto il moto.
I due andamenti oscillano con periodo π/ω, che è la metà del periodo dell'oscillazione T = 2π/ω: questo significa che l'energia compie il doppio delle oscillazioni rispetto allo spostamento.
Esempio numerico
Consideriamo un sistema massa-molla con massa m = 0,5 kg e costante elastica K = 50 N/m. La massa viene spostata di A = 0,1 m dalla posizione di equilibrio e lasciata libera di oscillare.
La pulsazione e il periodo valgono:
L'energia meccanica totale del sistema è:
La velocità massima, raggiunta nel passaggio per la posizione di equilibrio, vale:
Conclusione
L'oscillatore armonico è un sistema fisico di grande eleganza matematica: il moto è completamente descritto da una funzione cosinusoidale, e l'energia si conserva oscillando continuamente tra forma potenziale e cinetica senza mai dissiparsi. Questo modello è fondamentale non solo in meccanica classica, ma si estende a numerosi campi della fisica: dall'ottica alle onde elettromagnetiche, dalla meccanica quantistica alla teoria dei campi.
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