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DENSITÀ E CENTRO DI MASSA








Densità e centro di massa:



Immaginiamo che un corpo rigido sia composto di punti materiali, che fungono da piccoli volumi dotati di massa.


La densità ha il simbolo: ρ (lettera greca rho o ro)

L'unità di misura della densità è kg/m^3

Formula della densità:


ρ = dm/dv


I vari volumi posso anche non contenere la stessa massa allora dm varia a seconda del volume è dm = ρ ∙ dv


Visto che varia la massa integriamo:


∫ dm = ∫ ρ ∙ dv



Nel caso in cui la densità è costante allora il corpo è omogeneo ed avremo:


ρ = m/v ed m = ρ ∙ v


In caso che la densità non è costante il corpo non è omogeneo.


La massa anzi che essere distribuita in un volume può essere su una superfice (S).

In questi casi si parla di densità superficiale e di densità lineare


ρsuperficiale = dm/dS allora otteniamo m = ∫ ρ ∙ S ∙ dv


L' unità di misura della ρsuperficiale è kg/m^2


ρlineare = dm/dl allora otteniamo m= ∫ρ ∙ l ∙ dv


L' unità di misura della ρlineare è kg/m


Ora parliamo di:

Volume Specifico che è il rapporto tra il volume e la massa ed esprime il volume per unità di massa


V =1/ρ = dV/dm


Abbiamo parlato della densità, ora parliamo del centro di massa.

Dai precedenti articoli abbiamo capito che un corpo rigido ha una massa:


dm = ρ ∙ dv


e che il centro di massa di un sistema di punti materiali ha un raggio pari


raggio = r ∙ dm / dm


il numero di particelle però è infinito e quindi integriamo


rcm = ∫ r ∙ dm / ∫ dm = ∫ r ∙ ρ ∙ dv / ∫ ρ ∙ dv

dm = ρ ∙ dv

= 1 / m ∙ ∫ r ∙ ρ ∙ d

Il denominatore ρ ∙ dv = m cioè alla massa totale del corpo e quindi la tiriamo fuori dall'integrale.


Otteniamo le varie coordinate


Xcm = 1 / m ∙ ∫ x ∙ ρ ∙ dv ; Ycm = 1 / m ∙ ∫ y ∙ ρ ∙ dv ; Zcm 1 / m ∙ ∫ z ∙ ρ ∙ dv


Se la massa è distribuita linearmente avremo la densità lineare pari:


rcm = 1 /m ∙ ∫ r ∙ l ∙ ρ ∙ dl


Se la massa è distribuita su una superfice allora avremo la densità superficiale:


rcm = 1 / m ∙ ∫ r ∙ ρs ∙ dvs

Se un corpo ha densità costante allora è omogeneo e in questo caso ρ= costante


rcm = ρ / m ∙ ∫ r ∙ dv = 1/v ∙ ∫ r ∙ dv


Da questa definizione possiamo capire che la posizione del centro di massa di un corpo rigido dato il raggio(rcm) che è la media della funzione vettoriale r(x, y, z) non dipende dalla massa ma solo dalla forma essendo nel volume V.



Buono studio!

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Valentino Rocco

Studente universitario

L'eleganza nella risoluzione dei problemi sta nella semplicità

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